Definição e propriedades dos logaritmos

Criado em 09 abril 2013 | Imprimir | Email

1. Definição

A ideia que concebeu o logaritmo é muito simples, ou seja, podemos associar o termo Logaritmo, como sendo uma denominação para expoente. Dessa forma definimos de formalmente logaritmos, da seguinte maneira:

Destacamos os seguintes elementos:

a = Base do logaritmo;
b = logarimando ou antilogaritmo
x = logaritmo

2. Consequências directas da definição

A partir da defnição de logaritmo podemos, compreender alguns resultados, que comumente denominamo de consequências da definição.

Sendo b > 0 ,a > 0 e a ≠ 1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas consequências da definição de logaritmo:

3. Propriedades dos Logaritmos

3.1 Logaritmo do produto.

Se 0 < a ≠ 1, b > 0 e c > 0, então log_a (b. c) = log_a b + log_a c.

3.2- Logaritmo do quociente.

Se 0 < a ≠ 1, b > 0 e c > 0, então log_a = log_a b – log_a c.

3.3- Logaritmo da potência.

Se 0 < a ≠ 1, b > 0 e α , então log_a b^α = α . log_a b

Exemplo de aplicação:

Se Log 9 = x, então Log 6 é:

Solução:

Sabendo que 9 = 3², então podemos reescrever Log 9 = Log 3² = 2.Log 3 = x, portanto,

Log 3 = x/2.

Por outra lado percebe que 6 = 2.3, então, temos:

Log 6 = Log (2.3) pela propriedade 3.1, podemos escrever:

Log (2.3) = Log 2 + Log 3

Log(2.3) = Log 2 + x/2.

Resposta: Log 6 = Log 2 + x/2

4. Mudança de Base

Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b usamos:

OBS: Esse recurso é bastante útil para resoluções de várias questões referente a temática em questão.

Autor: Prof. Ailton Feitosa (Este artigo foi extraído daqui)

Categoria: Matemática

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